ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA.

como resolver problemas de la circunferencia



Ecuación de la circunferencia. Ejercicios resueltos

2

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.



Ecuación de la circunferencia. Ejercicios resueltos

3

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

Ecuación de la circunferencia. Ejercicios resueltos

4

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

 

Ecuación de la circunferencia. Ejercicios resueltos

5

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación , y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.

Ecuación de la circunferencia. Ejercicios resueltos

6

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0,0), B(3,1), C(5,7).

PROPIEDADES Y ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA.

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica .^{[1] [2] [3] [4] [5]}
Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Elementos de la circunferencia

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
• diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
• cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
• recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
• punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
• arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

LA MUSICA DE LAS ESFERAS.http://sepiensa.org.mx/contenidos/l_esferas/3.htm

Historia de la música de las esferas

Pitágoras consideraba que la esencia última de la realidad se expresaba a través de números. Los números eran el medio para percibir lo que de otra forma podría permanecer inalcanzable tanto para el intelecto como para los sentidos. A Pitágoras se le ha atribuido el descubrimiento de las proporciones de los principales intervalos de la escala musical. Para sus seguidores, los pitagóricos, las distancias entre los planetas -las esferas- tenían las mismas proporciones que existían entre los sonidos de la escala musical que eran considerados entonces como "armónicos" o consonantes. Cada esfera producía el sonido que un proyectil hace al cortar el aire. Las esferas más cercanas daban tonos graves, mientras que las más alejadas daban tonos agudos. Todos estos sonidos se combinaban en una hermosa armonía: la música de las esferas.

Para Platón, el mundo era concebido como un gran animal dotado de un alma propia. En el Timeo, uno de sus diálogos, afirma que el alma del mundo se había hecho de acuerdo a las proporciones musicales descubiertas por Pitágoras. En otro de sus diálogos, La República, relata el mito de Er, un guerrero que murió y resucitó después de unos días. Er había visto el universo durante su muerte temporal, y describía a los planetas como una serie de círculos que giraban en órbitas concéntricas. Según Er:

 

Encima de cada uno de los círculos iba una Sirena que daba también vueltas y lanzaba una voz siempre del mismo tono; y de todas las voces, que eran ocho, se formaba un acorde. Había otras tres mujeres sentadas en círculo, cada una en un trono y a distancias iguales; eran las Parcas, hijas de la Necesidad, vestidas de blanco y con ínfulas en la cabeza: Láquesis, Cloto y Átropos. Cantaban al son de las Sirenas: Láquesis, las cosas pasadas; Cloto, las presentes, y Átropos las futuras.

No todos los pensadores de la antigüedad creyeron en la música de las esferas. Aristóteles, en su libro Del cielo, negó la existencia del universo sonoro propuesto por Platón: "La teoría de que el movimiento de las estrellas produce una armonía, es decir, sonidos que revelan una concordancia, a pesar de la gracia y la originalidad con que ha sido presentada, no por ello deja de ser falsa."

Sin embargo, las ideas que tuvieron la mayor influencia fueron los mitos de Platón, mencionados anteriormente. Así, pensadores como Cicerón, Arístides Quintilianus y Tolomeo apoyaron la teoría de la música de las esferas.

La creencia en algunas religiones de la existencia de ángeles en el universo junto con la música de las esferas dio origen a lo que se conoció como "música celeste". Esta era la música producida por los ángeles que se representó en muchas obras de arte de la Edad Media y del Renacimiento.

Para su concepción del universo, Kepler se apoyó en los mitos de Platón y en el sistema de Copérnico que planteaba que el Sol era el centro en torno al cual giraban los planetas. Kepler postulaba que el modelo del universo estaba basado en la geometría: entre las órbitas de los seis planetas conocidos (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) estaban inscritos los cinco sólidos perfectos mencionados por Platón (cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro y octaedro)

Modelo del universo según Kepler

Kepler estudió cuidadosamente las órbitas de los planetas para establecer una relación entre el movimiento de estos cuerpos celestes con la teoría musical a la que se refirió como de Tolomeo, pero que había sido planteada por Gioseffo Zarlino. Finalmente, en su libro Harmonices Mundi, postuló que las velocidades angulares de cada planeta producían sonidos consonantes. Asumida esta creencia, escribió seis melodías: cada una correspondía a un planeta diferente. Al combinarse, estas melodías podían producir cuatro acordes distintos, siendo uno de ellos el acorde producido en el momento de la creación y otro el que marcaría el momento del fin del universo.

COMO GRAFICAR EN EL PLANO CARTESIANO.

El plano cartesiano:




EL PLANO CARTESIANO.



El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.



El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valordel eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1.Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.



2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

 
Ejemplos:




Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.



Determinar las coordenadas del punto M.



Las coordenadas del punto M son (3,-5).




 

De lo anterior se concluye que:




Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.



Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.



Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:



Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia

Funciones lineales:

Esta clase de funciones tienen dos características esenciales:



Las variaciones entre dos valoresde la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes.

Todos los puntos de su gráfica están alineados.

Funciones de proporcionalidad directa:



Si en todos los pares de valores de una funciónde proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.



Funciones de proporcionalidad inversa:



Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.

DEFINICION DE GEOMETRIA ANALITICA.

Geometría analítica

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.



Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:



Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).

Construcciones fundamentales

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.



Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Como distancia a los ejes

En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).



En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).


A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.




Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).



El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0)— se le denomina origen de coordenadas.

Como proyección sobre los ejes


Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, x e y, con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.





Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:

Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P´´ ( el punto ubicado sobre el eje y).

Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.

A los Puntos P' y P´´ le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P'se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P´´ se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo. Los números relacionados con P' y P´´, en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.





Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 ; 3)

Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 ; -5)

Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 ; -2)

Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 ; 4)

HISTORIA DE LA GEOMETRIA ANALITICA.

Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.
Geometría demostrativa primitiva

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

Pitágoras

En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.



Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas.



Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).



La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

Primeros problemas geométricos

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.



Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Apolonio de Perga

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.



Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

Geometría analítica

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.



Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

Modernos avances

Carl Fiedrich Gauss

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.



Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.



János Bolyai

Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.